Помогите решить, пожалуйста)) Найти указанные пределы используя правило Лопиталя

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Правило Лопиталя: предел дроби равен пределу отношения производных числителя и знаменателя.
lim f(x) / g(x) = lim f'(x) / g'(x)

2.13
$\lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{c^x-1}= \lim_{x \to 0} \frac{a^x*ln(a)}{c^x*ln(c)} = \frac{a^0*ln(a)}{c^0*ln(c)} = \frac{ln(a)}{ln(c)}$

3.13
$\lim_{x \to 0} \frac{3tg(4x)-12tg(x)}{3sin(4x)-12sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{12/cos^2(4x)-12/cos^2(x)}{12cos(4x)-12cos(x)} =$
$= \lim_{x \to 0} \frac{12}{cos^2(4x)*cos^2(x)}* \frac{cos^2(x)-cos^2(4x)}{cos(4x)-cos(x)} =$
$=- \frac{12}{cos^2(0)*cos^2(0)}* \lim_{x \to 0} \frac{(cos(4x)-cos(x))(cos(4x)+cos(x))}{cos(4x)-cos(x)} =$
$=-12\lim_{x \to 0} (cos(4x)+cos(x))=-12(cos(0)+cos(0))=-24$

4.13.
$\lim_{x \to 0} (1+x^2)^{1/x}= \lim_{x \to 0} exp(ln((1+x^2)^{1/x}))$
Здесь exp(z) - это функция e^z. Я ее написал, чтобы не мельчить в трехэтажных показателях степеней. Делаем дальше.
$\lim_{x \to 0} e^{1/x*ln(1+x^2)}=e^{\lim_{x \to 0} \frac{ln(1+x^2)}{x} }$
Теперь вычислим отдельно предел в показателе по Лопиталю.
$\lim_{x \to 0} \frac{ln(1+x^2)}{x} =\lim_{x \to 0} \frac{2x}{(1+x^2)*1} = \frac{2*0}{1+0}=0$
Результат
e^0 = 1

5.13.
$\lim_{x \to pi/2} (tg(x))^{2x-pi}= \lim_{x \to pi/2} exp(ln(tg(x))^{2x-pi})=$
$=\lim_{x \to pi/2} e^{(2x-pi)ln(tg(x))}=e^\lim_{x \to pi/2} (2x-pi)ln(tg(x))$
Как и в 4.13, найдем отдельно предел в показателе.
$\lim_{x \to pi/2} \frac{ln(tg(x))}{1/(2x-pi)}=\lim_{x \to pi/2} \frac{1}{tg(x)}* \frac{1}{cos^2(x)}: \frac{-2}{(2x-pi)^2} =$
$\lim_{x \to pi/2}-\frac{cos(x)}{sin(x)*cos^2(x)}* \frac{(2x-pi)^2}{2} =-\lim_{x \to pi/2}\frac{(2x-pi)^2}{sin(2x)}=$
$=-\lim_{x \to pi/2}\frac{2(2x-pi)*2}{2cos(2x)}= -\frac{2(2*pi/2-pi)}{cos(pi)} =- \frac{0}{-1} =0$
Результат
e^0 = 1

mefody66_zn (320k баллов) 13 Май, 18