Помогите, пожалуйста дам много баллов!) №1. Вычислите Площадь фигуры ограниченной...

Question

33 просмотров

Помогите, пожалуйста дам много баллов!)
№1. Вычислите Площадь фигуры ограниченной прямыми. (Первое Фото)
№2. Вычислите площадь фигуры ограниченной графиками функций. (2 Фото)
Буду благодарен, если все будет понятно написано!:)
P.S. Графики можно не делать, только решение.

Алгебра InquisitorMan_zn (428 баллов) 13 Май, 18 | 33 просмотров

Дан 1 ответ

Правильный ответ

1.
в)
Заметим, что при $x\in [-2;1]$ :
$3-{x\over4}-(-x)=3+{3x\over4}\ \textgreater \ 0$
То есть график второй функции лежит выше первой. Тогда площадь равна:
$\int\limits^1_{-2} {3+{3x\over4}} \, dx =(3x+{3x^2\over8})|^{^1}_{_{-2}} = 3+0.375+6-1.5=7.875$
г)
Найдем абсциссу точки пересечения первых двух функций:
$1-x=3-2x\\x=2$
При $x\in[0;2]$ :
$3-2x-(1-x)=2-x\ \textgreater \ 0$
Вторая функция лежит выше первой, поэтому площадь равна:
$\int\limits^2_0 {2-x} \, dx =(2x-{x^2\over2})|^{^2}_{_0}=2$

2.
в)
Найдем абсциссы точек пересечения функций:
$x^2-1=2x+2\\x^2-2x-3=0\\(x-3)(x+1)=0\\x_1=-1\\x_2=3$
Между данными двумя точками функции не пересекаются, обе функции непрерывны, значит при $x\in[-1;3]$ одна из функций всюду лежит не ниже другой. Подставив любую точку из интервала (-1;3) можно найти, какая из функций лежит выше на данном интервале.
$0^2-1=-1\\2*0+2=2\\2\ \textgreater \ -1$
Вторая функция лежит выше первой. Поэтому площадь:
$\int\limits^3_{-1} {2x+2-(x^2-1)} \, dx =(-{x^3\over3}+x^2+3x)|^{^3}_{_{-1}}=\\=-9+9+9-{1 \over3}-1+3=10{2\over3}\approx10.67$
г)
Снова находим абсциссы точек пересечения:
$-x^2+2x+3=3-x\\x^2-3x=0\\x_1=0\\x_2=3$
По аналогии с предыдущим пунктом приходим к выводу, что одна из функций лежит выше другой всюду на интервале (0;3)
$-1+2+3=4\\3-1=2\\4\ \textgreater \ 2$
Первая функция выше. Площадь:
$\int\limits^3_0 {-x^2+2x+3-(3-x)} \, dx = \int\limits^3_0 {-x^2+3x} \, dx =(-{x^3\over3}+{3x^2\over2})|_{_0}^{^3}=\\=-9+13.5=4.5$

ProGroomer_zn (18.9k баллов) 13 Май, 18