Дано :
DABC пирамида ;
ΔABC и ΔDAB равносторонние ;
AC= BC =AB = DA = DB =√(√15 -√3 ) ;
(DAB) ⊥ (ABC) .
-------------------------
S(бок) - ?
S(бок) = S(ΔDAB) +S(ΔDAC)+S(ΔDBC).
(DAB) ⊥ (ABC) ⇒CH ⊥AB , DH ⊥ AB и ∠CHD =90°.
ΔABC =ΔABD
AH = BH =a/2 ; CH =DH =√(a² -(a/2)² ) =√(a² -a²/4 ) =(a√3) /2 .
По теореме Пифагора из ΔCHD :
CD =√(CH² +DH²) =√(2CH²)= CH√2 =(a√3) /2 *√2 =(a√6) /2 .
ΔDAC= ΔDBC_равнобедренные .
Вычислим площадь треугольника DAC. Проведем высоту AM : AM ⊥ DC
Эта высота одновременно и медиана DM =CM =CD/2 = (a√6) /4.
Из ΔCAM :
AM =√(AC² - CM²) = √(a² - 6a² /16) =(a√10) /4.
S(ΔDAC) =CD*AM /2 = CM*AM = (a√6) /4 *(a√10) /4 =a²√(60)/16 =(a²√15)/8.
S(бок) = S(ΔDAB) +S(ΔDAC)+S(ΔDBC) = AB*DH /2 +2S(ΔDAC) =
(a²√3)/4 +(a²√15)/4 =a² (√5+1)*(√3)/ 4 =(√(√15 -√3) )² * (√5+1)*(√3)/ 4=
(√15 -√3) * (√5+1)*(√3)/ 4 = √3(√5-1)(√5+1)*√3 / 4 =3*(5-1)/4 = 3.
ответ : 3 ед.площади .
.
