Два натуральных числа отличаются ** 10. Десятичная запись их произведения состоит из...

Question

Два натуральных числа отличаются на 10. Десятичная запись их произведения состоит из одних девяток. Найдите меньшее из этих чисел.

Если можно, то укажите решение. Мне важно именно решение)

Answer 1

Первое х, второе х+10
1. х(х+10)=99
x^2+10x-99=0
D = 496
Дискриминант не извлекается, значит натуральных корней нет
2. х(х+10)=999
x^2+10x-999=0
D = 4096 = 64^2
x1 = -37, x2=27     -37 не удовлетворяет условию задачи
Ответ 27

Comments

Очень понятно, спасибо)

---

Так 27 и -37 не отличаются на 10

---

первое число 27, а второе 27

---

первое число 27, а второе 27+10=37

---

Вот решение:

---

Пусть это числа n - 5, n + 5, n - целое.

Тогда (n - 5)(n + 5) + 1 = 10^k, k - натуральное.
n^2 - 24 = 10^k
n^2 = 10^k + 24

Пусть k >= 4. Тогда n^2 оканчивается на ...0024, поэтому делится на 8, а n делится на 4, n = 4m
16m^2 = 10^(k - 3) * 1000 + 24
2m^2 = 10^(k - 3) * 125 + 3
Левая часть этого равенства чётная, а правая нечётная, значит, решений в этом случае нет.

k = 1, k = 2, k = 3 перебираются вручную, подходит только k = 3, при этом n^2 = 1024 и n = 32, а сами числа 27 и 37.

Ответ. 27.