Помогите с математикой!(Интегралы)

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Для нахождения этого интеграла воспользуемся методом Остроградского.

Искомый интеграл представим в виде:
∫ $\frac{P(x)}{Q(x)}$ $= \frac{ P_{1}(x) }{ Q_{1}(x) } +$ ∫ $\frac{ P_{2} (x)}{ Q_{2}(x) }$

Совершенно понятно, что в этом интеграле
$P(x) = x^{3} - 10 x^{2} - 3x + 6$ , а $Q(x) = x^{3}(x-2) = x^{4} - 2 x^{3}$
Найдём оставшиеся компоненты этой формулы.
Согласно методу Остроградского $Q_{1} (x)$ - наибольший общий делитель Q(x) и его ПРОИЗВОДНОЙ Q'(x).
$Q'(x) = ( x^{4} - 2 x^{3} )' = 4 x^{3} - 6 x^{2} = 2x^{2} (2x - 3)$
Сравниваем оба разложения и видим, что максимум, на что оба многочлена делятся - это $x^{2}$ . Следовательно, это и есть наибольший общий делитель, то есть, $Q_{1} (x)$ .

Следующий этап.
$Q_{2} (x) = \frac{Q(x)}{ Q_{1} x} = \frac{ x^{4} - 2 x^{3} }{ x^{2} } = x^{2} - 2x$
Очень важное правило: степени $P_{1}(x) и P_{2} (x)$ должны быть хотя бы на единицу меньше степени соответствующих знаменателей(поскольку работаем мы с правильными дробями).

Степени $Q_{1} (x)$ и $Q_{2} (x)$ , очевидно равны 2. Значит, степени числителей должны быть максимум линейными функциями. Линейная функция задаётся в общем виде как Ax + B. И запишем теперь общий вид формулы Остроградского(при этом во второй дроби коэффициенты линейной функции ДРУГИЕ).

Итак.
∫ $\frac{ x^{3} - 10 x^{2} - 3x + 6}{ x^{3} (x-2)}dx = \frac{Ax+B}{ x^{2} } +$ ∫ $\frac{Cx+D}{ x^{2} -2x}$

Теперь продифференцируем обе части равенства. При этом стоит заметить, что производная интеграла равна подынтегральному выражению, а производную дроби ищем по правилу дифференцирования частного.
$\frac{ x^{3} - 10 x^{2} -3x+6}{ x^{3} (x-2)} = \frac{A x^{2} - 2(Ax+B)x}{ x^{4} } + \frac{Cx+D}{ x^{2} - 2x } \\ x(x^{3} - 10 x^{2} -3x+6) = (x-2)(A x^{2} - 2(Ax+B)x) + x^{3}(Cx+D) \\ x^{4} - 10 x^{3} - 3 x^{2} + 6x = A x^{3} - 2A x^{2} - 2 x^{2} (Ax+B) + 4x(Ax+B) + \\ +C x^{4} + D x^{3} \\ x^{4} (C-1) + x^{3} (D - 2A + A + 10) + x^{2} (4A - 2B - 2A + 3) + \\ + x(4B - 6) = 0$
Здесь мы сначала продифференцировали обе части равенства, затем домножили обе части на общий знаменатель дробей $x^{4} (x-2)$ , затем привели подобные и сгруппировали слагаемые при одной степени. Многочлен равен 0. Значит, достаточно приравнять 0 все коэффициенты при степенях и решить полученную систему.
$C - 1 = 0, D - 2A + A + 10 = 0, 4A - 2B - 2A + 3 = 0, 4B - 6 = 0$ , откуда
$C = 1, B = \frac{3}{2} , 2A = 2B - 3 = 0, A = 0, D = -10$ .

Основная часть закончена: рациональная часть интеграла выделена.
теперь запишем формулу Остроградского ещё раз и видим, что всё дело свелось к нахождению совсем несложного интеграла.
∫ $\frac{ x^{3} - 10 x^{2} - 3x + 6}{ x^{3} (x-2)}dx = \frac{\frac{3}{2}}{ x^{2}} +$ ∫ $\frac{x - 10}{ x^{2} -2x}dx$

Теперь вычислим оставшийся более простой интеграл.
∫ $\frac{x - 10}{ x^{2} -2x} dx$ = ∫ $\frac{ \frac{1}{2} d( x^{2} -2x) - 9dx}{ x^{2} -2x} =$ $\frac{1}{2}$ ∫ $\frac{d( x^{2} -2x)}{ x^{2} -2x}$ - 9∫ $\frac{dx}{ x^{2} -2x}$ = $\frac{1}{2} ln| x^{2} - 2x| - 9$ ∫ $\frac{dx}{ x^{2} - 2x + 1 - 1} =$ $\frac{1}{2} ln| x^{2} - 2x| - 9$ ∫ $\frac{dx}{ (x-1)^{2} - 1 } =$ $\frac{1}{2} ln| x^{2} - 2x| - 9 \frac{1}{2} ln |\frac{x-2}{x} |$

Константу С я добавлю после получения искомого интеграла.
Всё. Этот интеграл также найден. Осталось подставить его значение в полученное ранее выражение.

Ответ: $\frac{3}{2 x^{2} } + \frac{1}{2} ln| x^{2} - 2x| - 9 \frac{1}{2} ln |\frac{x-2}{x} | + C$

Kulakca_zn (6.8k баллов) 13 Май, 18