Через точку А проведены касательная АВ (В – точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках P и Q. Докажите, что AB²= AP*AQ.
пусть О - центр окружности пусть АВ = а пусть АР = в пусть AQ = c пусть АO = х пусть ОВ = ОР = ОQ = r пусть угол РАО = у ************************** по теореме пифагора и по теореме косинусов выразим стороны трех треугольников с общей вершиной А и общей стороной АО получим 3 уравнения x² = a² + r² r²=x² + b²-2xb*cos(y) r²=x²+c²-2xc*cos(y) *************** x² = a² + r² r²=a² + r²+ b²-2xb*cos(y) r²=a² + r²+c²-2xc*cos(y) *************** a² + b²=2xb*cos(y) a² +c²=2xc*cos(y) *************** (a² + b²)*c=2xbc*cos(y) (a² +c²)*b=2xbc*cos(y) *************** (a² +c²)*b=(a² + b²)*c *************** a²b +c²*b=a²c + b²*c *************** a²b - a²c = b²*c-c²*b *************** a²(b - c) = bc(b-c) *************** a² = bc *************** AB²= AP*AQ - что и требовалось доказать