Logx+1(2x+7) *logx+1 ((2x+7)/(x+1)^3) <= -2 Ответ:(корень из6;= бесконечность) решение...

$log_{x+1}(2x+7)*log_{x+1}( \frac{2x+7}{(x+1)^3} ) \leq -2$
Область определения:
{ x+1 > 0
{ x+1 ≠ 1
{ 2x+7 > 0
x ∈ (-1; 0) U (0; +oo)
Теперь решаем само неравенство.
По свойствам логарифмов
$log_{x+1}( \frac{2x+7}{(x+1)^3} )=log_{x+1}(2x+7) - log_{x+1}(x+1)^3=log_{x+1}(2x+7)-3$
Делаем замену $y=log_{x+1}(2x+7)$
y*(y - 3) ≤ -2
y^2 - 3y + 2 ≤ 0
(y - 1)(y - 2) ≤ 0
y ∈ [1; 2]
Обратная замена
$1 \leq y=log_{x+1}(2x+7) \leq 2$
{ 2x + 7 ≥ x + 1
{ 2x + 7 ≤ (x + 1)^2
1 неравенство верно при любом x > 0. Рассмотрим 2 неравенство.
2x + 7 ≤ x^2 + 2x + 1
6 ≤ x^2
x^2 ≥6
Так как x > 0, то решение: x ≥ √6
Ответ: x ∈ [√6; +oo)