Все эти уравнения нужно сводить к квадратным.
1) 10cos^2 x + 17cos x + 6 = 0
Замена cos x = y, область определения y ∈ [-1; 1]
10y^2 + 17y + 6 = 0
Решаем квадратное уравнение
D = 17^2 - 4*10*6 = 289 - 240 = 49 = 7^2
y1 = (-17-7)/20 = -24/20 = -6/5 < -1 - не подходит
y2 = (-17+7)/20 = -10/20 = -1/2
Обратная замена
y = cos x = -1/2
x = +-2pi/3 + 2pi*k
2) 3cos^2 x + 10sin x - 10 = 0
3 - 3sin^2 x + 10sin x - 10 = 0
3sin^2 x - 10sin x + 7 = 0
Замена sin x = y, y ∈ [-1; 1]
3y^2 - 10y + 7 = 0
3) 2sin^2 x + 9sin x*cos x + 10cos^2 x = 0
Делим все уравнение на cos^2 x
2tg^2 x + 9tg x + 10 = 0
Замена tg x = y; y ∈ (-oo; +oo)
2y^2 + 9y + 10 = 0
4) 3tg x - 12ctg x + 5 = 0
Умножаем все на tg x
3tg^2 x + 5tg x - 12 = 0
Замена tg x = y; y ∈ (-oo; +oo)
3y^2 + 5y - 12 = 0
5) 10sin^2 x - 3sin 2x = 8
Переведем все в sin x и cos x
10sin^2 x - 6sin x*cos x = 8sin^2 x + 8cos^2 x
Приводим подобные и делим все на 2
sin^2 x - 3sin x*cos x - 4cos^2 x = 0
Делим все уравнение на cos^2 x
tg^2 x - 3tg x - 4 = 0
Замена tg x = y; y ∈ (-oo; +oo)
y^2 - 3y - 4 = 0
6) 11sin 2x - 6cos^2 x + 8cos 2x = 8
Переведем все в sin x и cos x
22sin x*cos x - 6cos^2 x + 8cos^2 x - 8sin^2 x = 8cos^2 x + 8sin^2 x
Приводим подобные и умножаем все уравнение на -1
16sin^2 x - 22sin x*cos x + 6cos^2 x = 0
Делим все уравнение на cos^2 x
16tg^2 x - 22tg x + 6 = 0
Замена tg x = y; y ∈ (-oo; +oo)
16y^2 - 22y + 6 = 0
Квадратные уравнения решайте сами, это нетрудно.
Потом делаете обратную замену и получаете x, как в 1 номере.