Решите неравенство, применяя теоремы о равносильности неравенств:

0 голосов
71 просмотров

Решите неравенство, применяя теоремы о равносильности неравенств:


image

Алгебра (1.2k баллов) | 71 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ
\sqrt{x^2-2x}\ \textgreater \ 1-x
Неравенство равносильно совокупности двух систем:
\left\{\begin{array}{l}1-x\ \textless \ 0\\x^2-2x \geq 0\end{array}\right и \left\{\begin{array}{l}1-x \geq 0\\x^2-2x \ \textgreater \ (1-x)^2\end{array}\right
Решаем первую систему:
\left\{\begin{array}{l}1-x\ \textless \ 0\\x^2-2x \geq 0\end{array}\right \\\ \left\{\begin{array}{l}1-x\ \textless \ 0\\x(x-2) \geq 0\end{array}\right \\\ \left\{\begin{array}{l}x\ \textgreater \ 1\\ x\in(-\infty;0]\cup[2;+\infty)\end{array}\right \Rightarrow x\in[2;+\infty)
Решаем вторую систему:
\left\{\begin{array}{l}1-x \geq 0\\x^2-2x \ \textgreater \ (1-x)^2\end{array}\right
\\\
\left\{\begin{array}{l}1-x \geq 0\\x^2-2x \ \textgreater \ 1-2x+x^2\end{array}\right
\\\
\left\{\begin{array}{l}1-x \geq 0\\0 \ \textgreater \ 1\end{array}\right
Второе неравенство неверно, значит вся система не имеет решений.
Тогда общее решение совокупности совпадает с решением первой системы: x\in[2;+\infty)
Ответ: x\in[2;+\infty)
(271k баллов)