Срочно!!! ДУ 1-го порядка. ДУ с разделяющимися переменными. Помогите решить. x2y' – 4y =...

Question 1

Срочно!!! ДУ 1-го порядка.

ДУ с разделяющимися переменными. Помогите решить.
x2y' – 4y = 0
y (2) = 1

Question 2

х в степени 2

Question 3

$x^2y'-4y=0$
Разрешим наше дифференциальное уравнение
$y'= \dfrac{4y}{x^2}$
Воспользуемся определением производной:
$\dfrac{dy}{dx}= \dfrac{4y}{x^2}$ - уравнение с разделяющимися переменными
$\dfrac{dy}{4y}= \dfrac{dx}{x^2}$ - уравнение с разделёнными переменными
Проинтегрируем обе части уравнения
$\displaystyle \int\limits { \frac{dy}{4y} } \,= \int\limits { \frac{dx}{x^2} } \,$
$\frac{1}{4} \ln|y|=- \frac{1}{x} +C$ - общий интеграл

Найдем задачу Коши: $y(2)=1$

$\frac{1}{4} \ln1=- \frac{1}{2} +C\\ \\ C= \frac{1}{2}$

Подставим в общий интеграл

$\frac{1}{4} \ln|y|=- \frac{1}{x} + \frac{1}{2}$ - частный интеграл

Ответ: $\frac{1}{4} \ln|y|=- \frac{1}{x} + \frac{1}{2}$

аноним · Answer 1 · 2018-05-13T11:00:28+0000

$x^2y'-4y=0$
Разрешим наше дифференциальное уравнение
$y'= \dfrac{4y}{x^2}$
Воспользуемся определением производной:
$\dfrac{dy}{dx}= \dfrac{4y}{x^2}$ - уравнение с разделяющимися переменными
$\dfrac{dy}{4y}= \dfrac{dx}{x^2}$ - уравнение с разделёнными переменными
Проинтегрируем обе части уравнения
$\displaystyle \int\limits { \frac{dy}{4y} } \,= \int\limits { \frac{dx}{x^2} } \,$
$\frac{1}{4} \ln|y|=- \frac{1}{x} +C$ - общий интеграл

Найдем задачу Коши: $y(2)=1$

$\frac{1}{4} \ln1=- \frac{1}{2} +C\\ \\ C= \frac{1}{2}$

Подставим в общий интеграл

$\frac{1}{4} \ln|y|=- \frac{1}{x} + \frac{1}{2}$ - частный интеграл

Ответ: $\frac{1}{4} \ln|y|=- \frac{1}{x} + \frac{1}{2}$