Для складання рівняння прямої чинна шкільна програма з геометрії пропонує робити це так:
Скласти рівняння прямої, яка проходить через точки А (4;–1) та В (–6;2).
Розв'язання:
Оскільки ані абсциси, ані ординати точок не рівні, то пряма АВ не паралельна ні вісі абсцис, ні вісі ординат. Це означає, що потрібно шукати рівняння прямої у вигляді y = kx + m.
За умовою координати точок задовольняють шукане рівняння, тобто
Розв'язуючи цю систему віднімемо від першого рівняння друге і отримаємо значення коефіцієнту k.
Підставляємо знайдений коефіцієнт k у перше рівняння й знаходимо m.
Нарешті можемо записати шукане рівняння у вигляді y = kx + m:або у вигляді ax + by + c = 0:
Відповідь: рівняння прямої має вигляд y = –0,3x + 0,2 або 3x + 10y – 2 = 0.
Однак, для складання рівняння прямої, що проходить через дві точки є простіший і, до того ж, цілком законний спосіб.Для його виведення нам доведеться пригадати теорему про пропорційні відрізки, яка, як відомо, формулюється так:
Паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають від сторін кута пропорційні відрізки.
Це означає, що у випадку, зображеному на малюнку
Візьмемо тепер в прямокутній системі координат дві довільні точки А (x1;y1) і В (x2;y2), проведемо через них пряму, та позначимо на ній довільну точку С (x;y).
Відповідно до теореми про пропорційні відрізки
і , а значить
Все, маємо формулу, за допомогою якої тепер легко написати рівняння прямої, що проходить через дві дані точки.
Розв'яжемо попередню задачу з використанням виведеної формули:
Маємо А (4;–1), В (–6;2). Нехай координати точки А будуть першими, а координати точки В – другими.
Використовуючи формулу записуємо:
За основною властивістю пропорції з виразу отримуємо:Розкриваємо дужки, зводимо подібні доданки:Відповідь: 3x + 10y – 2 = 0.