Докажите,что для арифметических корней верно равенство

Первый способ

При $a \geq 0,\,\, b\ \textgreater \ 0$ выполняется условие $\dfrac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } \geq 0$ . Возведя в $n$ - ой степени, имеем:

$\bigg( \dfrac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } \bigg)^\big{n}= \dfrac{a}{b}$

Второй способ.

Сделаем замену.
Пусть $\sqrt[n]{ \dfrac{a}{b} } =x;\,\,\,\, \sqrt[n]{a} =y;\,\,\,\, \sqrt[n]{b} =z$

Имеем

$ab=x^n;\,\,\,\,\,\,\, a=y^n;\,\,\,\,\, b=z^n$

$x^n= \dfrac{y^n}{z^n} = \bigg(\dfrac{y}{z} \bigg)^\big{n}$ отсюда следует $x= \dfrac{y}{z}$