Помогите с 952(2) и 953(3)

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

В 952) 2) опечатка, должно быть так:
{ 2^(x+y+1) + 7*2^(y-5) = 4
{ √(2x+y^2) = x + y
Второе уравнение возводим в квадрат
2x + y^2 = x^2 + 2xy + y^2
x^2 + 2xy - 2x = 0
x(x + 2y - 2) = 0
Два варианта.
а) x = 0, подставляем в 1 уравнение:
2^(y+1) + 7*2^(y-5) = 4
2*2^y + 7*2^y*2^(-5) = 4
2^y*(2 + 7/32) = 4
2^y = 4 : (71/32) = 4*32/71 = 128/71
y = log2(128/71) = log2(128) - log2(71) = 7 - log2(71)

b) x + 2y - 2 = 0; тогда x = 2 - 2y, подставляем в 1 уравнение
2^(2 - 2y + y + 1) + 7*2^(y - 5) = 4
2^(3 - y) + 7*2^(y - 5) = 4
8/2^y + (7/32)*2^y = 4
Замена 2^y = t > 0 при любом y, и умножаем все на 32
256/t + 7t = 128
Умножаем все на t
7t^2 - 128t + 256 = 0
D/4 = 64^2 - 7*256 = 4096 - 1792 = 2304 = 48^2
t1 = (64 - 48)/7 = 16/7 = 2^y
y1 = log2(16/7) = 4 - log2(7); x1 = 2 - 2y = -6 + 2log2(7)
t2 = (64 + 48)/7 = 112/7 = 16 = 2^y
y2 = 4; x2 = 2 - 2y = 2 - 8 = -6
Ответ: (0; 7 - log2(71)); (-6 + 2log2(7); 4 - log2(7)); (-6; 4)

953) 2) По свойствам логарифмов
$log_2(a) = \frac{lg(a)}{lg(2)}; log_{1/2} (a) = \frac{lg(a)}{lg(1/2)} = \frac{lg(a)}{-lg(2)} =-log_2(a)$
Подставляем вместо а сначала (x+y), а потом (x-2y)
{ $2log_2^2(x+y)-log_2(x+y)*(-log_2(x-2y))=2log_2^2(x-2y)$
{ x^2 - xy - 2y^2 = 4
В произведении минус на минус дает плюс. Делим все на $log_2^2(x-2y)$
{ $2* (\frac{log_2(x+y)}{log_2(x-2y)} )^2+\frac{log_2(x+y)}{log_2(x-2y)}-2=0$
{ (x + y)(x - 2y) = 4
Замена $\frac{log_2(x+y)}{log_2(x-2y)}=t$ в 1 уравнении
2t^2 + t - 2 = 0
D = 1 - 4*2(-2) = 1 + 16 = 17
t1 = (-1 - √17)/4
t2 = (-1 + √17)/4
Решаем 2 системы
a)
{ $\frac{log_2(x+y)}{log_2(x-2y)}= \frac{-1- \sqrt{17} }{4}$
{ x - 2y = 4 / (x + y)
Подставляем 2 уравнение в 1
$\frac{log_2(x+y)}{log_2(4/(x+y))}= \frac{-1- \sqrt{17} }{4}$
$\frac{log_2(x+y)}{log_2(4)-log_2(x+y)}= \frac{-1- \sqrt{17} }{4}$
$\frac{2-log_2(x+y)}{log_2(x+y)}=- \frac{4}{\sqrt{17}+1} = \frac{4(\sqrt{17}-1)}{17-1} = \frac{\sqrt{17}-1}{4}$
$\frac{2}{log_2(x+y)} -1=\frac{\sqrt{17}-1}{4}$
$\frac{2}{log_2(x+y)} =1+\frac{\sqrt{17}-1}{4}=\frac{\sqrt{17}+3}{4}$
$log_2(x+y)= \frac{2*4}{\sqrt{17}+3}= \frac{8(\sqrt{17}-3)}{17-9} = \sqrt{17}-3$
Получаем систему:
{ $x+y=2^{\sqrt{17}-3}$
{ $x-2y= \frac{4}{x+y} = \frac{4}{2^{\sqrt{17}-3}} = 2^{2-\sqrt{17}+3}=2^{5-\sqrt{17}}$
Вычитаем из 1 уравнения 2 уравнение
$3y=2^{\sqrt{17}-3}- 2^{5-\sqrt{17}$
Получаем
$y1= \frac{1}{3}*2^{\sqrt{17}-3}- \frac{1}{3}*2^{5- \sqrt{17} }$ $x1=2^{\sqrt{17}+3}-y1= \frac{2}{3}*2^{\sqrt{17}-3}+ \frac{1}{3}*2^{5- \sqrt{17} }$

b)
{ $\frac{log_2(x+y)}{log_2(x-2y)}= \frac{-1+ \sqrt{17} }{4}$
{ x - 2y = 4 / (x + y)
Решается точно также.

mefody66_zn (320k баллов) 13 Май, 18