Вышмат 2yy''-3(y')^2=4y^2найти общее решение уравнения

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Это дифференциальное уравнение второго порядка независящее явным образом от независимой переменной х.

Понизим порядок производной.
Пусть y' = p(y), тогда y'' = p*p'(y). Имеем:

$-3p^2+2yp\cdot p'=4y$
Пусть l = p², тогда
$l'- \dfrac{3l}{y} =4y$
Получили дифференциальное уравнение первого порядка, линейное неоднородное.
Пусть $l=uv$ тогда $l'=u'v+uv'$
$u'v+uv'- \dfrac{3uv}{y} =4y\\ \\ u'v+u\bigg(v'- \dfrac{3v}{y} \bigg)=4y$
Данное решение состоит из двух этапов:

1) Предполагаем, что второе слагаемое равен нулю:
$v'- \dfrac{3v}{y} =0;\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\,\, \dfrac{dv}{dy} = \dfrac{3v}{y} \\ \\ \dfrac{dv}{v} = \dfrac{3dy}{y}$
Интегрируя обе части уравнения, получаем:
$\ln|v|=\ln|y^3|\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\,\, v=y^3$

2) Второе слагаемое равен нулю, значит

$u'v=4y\\ \\ u'\cdot y^3=4y|:y^3\\ \\ u'= \dfrac{4}{y^2}$
Снова интегрируя, получаем:
$\displaystyle \int\limits {\dfrac{4}{y^2} } \, dy=-\dfrac{4}{y} +C_1$

Обратная замена:

$l=\bigg(-\dfrac{4}{y}+C_1\bigg)\cdot y^3=-4y^2+C_1y^3\\ \\ p^2=C_1y^3-4y^2;\,\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\, p=\pm \sqrt{C_1y^3-4y^2} \\ \\ \\ y'=\pm \sqrt{C_1y^3-4y^2} \\ \\ \\ \dfrac{dy}{y \sqrt{C_1y-4} } =\pm dx\\ \\ \\ \boxed{-arctg\bigg( \frac{2}{ \sqrt{C_1y-4} } \bigg)=\pm x+C_2}$

аноним 13 Май, 18