Шар называется вписанным в многогранник, а многогранник описанным около шара, если поверхность шара касается всех граней многогранника.
Центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит в точке пересечения высоты пирамиды с биссектрисой линейного угла любого двугранного угла при основании пирамиды.
Сделаем схематический рисунок сечения КМТ пирамиды через вершину и середины противоположных сторон основания.
1) Найдем радиус вписанного шара из формулы его объёма.
V=4πR³:3=32π/3, откуда R³=8 ⇒ R=2
Рассмотрим рисунок сечения.
∆ КМТ - равнобедренный, т.к. КМ=ТМ –апофемы правильной пирамиды равны. ОН=ОЕ=R=2 ( из найденного)
⇒ ОМ=6-2=4
ОЕ⊥МЕ, sin ∠OME=ОЕ/ОМ=2/4=1/2. Это синус 30°.
Угол ОМЕ=30°, угол КМТ=60°, ⇒ ∆КМТ - равносторонний.
МТ=МН/cos30°=6:(√3/2)=4√3
AD=КТ=МТ=4√3
Объём пирамиды равен 1/3 произведения площади основания на высоту.
V(MABCD)= AD²•MН/3
V=48•6/3=96 (ед. объёма)
