Один из углов некоторого десятиугольника равен среднему арифметическому остальных углов....

Сумма всех углов n-угольника равна $(n-2)\cdot 180^\circ$ .
Для десятиугольника получим: $S=(10-2)\cdot 180^\circ=1440^\circ$
Обозначим углы десятиугольника $a_0,\ a_1,\ a_2,\ ...,\ a_9$ , причем один из углов (искомый) - $a_0= \frac{a_1+a_2+...+a_9}{9}$ - среднее арифметическое остальных.
Составляем сумму:
$a_0+ a_1+ a_2+ ...+ a_9=1440^\circ \\\ \frac{a_1+a_2+...+a_9}{9}+ a_1+ a_2+ ...+ a_9=1440^\circ \\\ \frac{10(a_1+a_2+...+a_9)}{9}=1440^\circ \\\ \frac{a_1+a_2+...+a_9}{9}=144^\circ$
Но теперь в левой части записан искомый угол: $a_0=144^\circ$ .
Ответ: 144°