X+y+z=1 x^2+y^2+z^2=1 x^3+y^3+x^3=1 Знайти всі розв'язки системи

Question

X+y+z=1
x^2+y^2+z^2=1
x^3+y^3+x^3=1


Знайти всі розв'язки системи

Comments

В последнем уравнении, последнее слагаемое z^3?

---

Если x ≤ 1, то x^3 ≤ x^2≤ x, причем равенство достигается только при x = 0 и x = 1. Из уравнения x^2 + y^2 + z^2 = 1 следует, что x, y, z – числа от –1 до 1. Поэтому x^3 + y^3 + z^3 ≤ x^2 + y^2 + z^2≤ x+y+z, причем равенство достигается, когда каждое из чисел x, y, z равно либо 0, либо 1. Поэтому возможны три варианта ответов (1;0;0); (0;1;0); (0;0;1)

---

"Если x ≤ 1, то x^3 ≤ x^2≤ x" - для отрицательных х это неверно.

---

Спасибо за замечание. Согласен с Вами для отрицательных значений х неравенство надо было записать в виде x ≤ x^3≤ x^2

---

Из второго уравнения x^2+y^2+z^2=1 можно сделать вывод, что x, y, z по модулю меньше или равны 1. Далее использую решение Denik777-а именно отниму от третьего уравнения второе получу (x^3-x^2)+(y^3-y^2)+(z^3-z^2) =0 x^2(x-1)+y^2(y-1)+z^2(z-1)=0 В последнем уравнении x^2>=0 y^2>=0, z^2>=0. Учитывая что значения переменных меньше или равна нулю

---

можно сказать что их разность (х-1) всегда будет меньше или равна нулю. Поэтому произведение х^2(x-1)<=0. Можно сделать вывод, что последнее равенство истинно если каждое слагаемое равно нулю x^2(x-1)=y^2(y-1)=z^2(z-1) =0

---

Данное равенство истинно при значениях переменных равных 0 и 1. Если все три или две переменные равны 1 то исходные уравнения не верны. Остаются три варианта когда одна из переменных равна 1 а остальные две равны 0.

---

Да, теперь правильно.

---

Отсюда, кстати, видно, что первое уравнение здесь вообще не нужно. Второе и третье уравнения уже дают ответ. Остается только проверить, что он не противоречит первому.

Answer 1

Решение прицеплено в картинке.

---

Comments

По т. Виета для уравнения t^3-At^2+Bt-C=0 можно сразу сказать, что t=x, t=y, t=z - его корни. Это и означает, что каждая скобка в левой части равна 0. Или можно вообще без всякой т. Виета, просто посчитать каждую скобку "в лоб" учитывая выражения для A, В, С через х, у, z. Все эти три скобки окажутся равными нулю. Собственно об этом и говорит т. Виета.

---

" По теореме Виета для кубического уравнения каждая скобка в левой части равна нулю). Если можно поясните к какому уравнению применена теорема Виета. К уравнению с тремя переменными (x;y;z)или одной для х?? Честно говоря не понял.

---

В ходе решения вывод о равенстве данного уравнения нулю на основе теореме Виета используется для того чтобы доказать что коэффициент С=0, а не наоборот. Потому что мы знаем значения только А=1 и В=О, а значение С мы не знаем и у Вас вы его как раз и получаете после применения теоремы Виета в уравнении в котором точно не известно чему равно С. Поэтому Вы применяете теорему Виета для уравнения в котором не знаете есть в правой части 0 или нет, а потом доказываете что С=0. Может быть я и не прав...

---

Более кратко. Теорема Виета применяется для уравнения в котором правая часть равна нулю. Вы не знаете равна она нулю или нет. И на основе теоремы Виета Вы доказываете что правая часть равна нулю. Может быть я и не прав..

---

Теорема Виета в данном случае, это просто быстрый способ посчитать те три скобки в левой части и увидеть, что они равны 0. Если сомневаетесь, то можете просто в каждой скобке заменить А, В, С на их выражения через x, y, z и привести подобные слагаемые. Фактически, это и будет доказательством т. Виета.