Две окружности пересекаются в точках C и D. Точка B — центр второй окружности, а отрезок...

Question

Две окружности пересекаются в точках C и D. Точка B — центр второй окружности, а отрезок AB — диаметр первой. Из точки CC провели касательную к первой окружности, которая пересекает вторую окружность в точке E, отличной от C. Найдите радиус первой окружности, если радиус второй равен 20, а длина отрезка CE равна 24.

Answer 1

Обозначим центр первой окружности буквой О, её радиус - r.
Из центра В второй окружности проведём перпендикуляр ВК к хорде СЕ.
Точка К будет серединой СЕ (по свойству хорды).
Найдём длину отрезка ВК:
ВК = √(ВЕ²-КЕ²) = √(20²-12²) = √(400-144) = √256 = 16.
Имеем четырёхугольник ОСКВ с двумя прямыми углами С и К.
Проведём перпендикуляр из точки О к отрезку ВК.
Получим прямоугольный треугольник с катетами 12 и (16 - r).
Гипотенуза этого треугольника равна радиусу r.
 r² = 12² + (16 - r)².
 r² = 144 + 256 -32r + r². 
32r = 400.
r = 400/32 = 100/8 = 25/2 = 12,5.