1. Так как сданы все экзамены, студенты отправились домой.
Having passed - причастие.Having passed all exams - независимый причастный оборот.
2.Девочка, пишущая на доске, наша лучшая ученица.
Writing - причастие, герундия нет. Причастный оборот. - The girl writing on the blackboard.
3.Так как ужин закончился, мы собрались в гостиной. Being over - причастие. Assemled - это глагол. Dinner being over - прич. оборот.
4. Дети любят слушать рассказы медсестры. Told - причастие. Told by nurse -прич. оборот.
5. Они настаивали на том, чтобы летом отправиться на юг.
Going - герундий. They instead on going - оборот.
6. Он гордится тем, что поговорил с этим выдающимся человеком.
Having spoken - причастие. Outstanding - герундий.He is proud of having spoken - оборот.