Доказать, что неравенство x20-x^17+x^14-x^3+x^2-x+1>0 выполняется для всех действительных...

Рассмотрим случаи.
1) Если $x \leq 0$ , то
$x^{20}-x^{17}-x^3+x^2-x+1\ \textgreater \ 0$
2) Если $0\ \textless \ x \leq 1$ , то
$x^{20}-x^{17}+x^{14}-x^3+x^2-x+1 \geq x^{20}-x^{17}+x^{14}-x+1\\ x^{20}-x^{17}+x^{14}-x+1 \geq x^{20}-x+1\\ x^{20}-x+1 \geq x^{20}\\ x^{20}\ \textgreater \ 0$
3) Если $x\ \textgreater \ 1$ , то
$x^{20}-x^{17}+x^{14}-x^3+x^2-x+1\ \textgreater \ x^{14}-x^3+x^2-x+1\\ x^{14}-x^3+x^2-x+1\ \textgreater \ x^2-x+1\\ x^2-x+1\ \textgreater \ 1\\ 1\ \textgreater \ 0$

Во всех случаях видим, что левая часть неравенства принимает только положительные значения