sqrt(x+1) + 1 = sqrt((x-1)/x)
Возведем в квадрат:
x+1+1+2*sqrt(x+1) = (x-1)/x
x+2+2*sqrt(x+1) = 1 - 1/x
x+1+2*sqrt(x+1) = - 1/x
2*sqrt(x+1) = -1/x - x - 1
Снова возведем в квадрат:
4*(x+1) = (-1/x - x - 1)^2
4x + 4 = (1/x + x + 1)^2
4x + 4 = 1/x/x + x*x + 1 + 2 + 2/x + 2x
2x + 1 = 1/x/x + x*x + 2/x
2x + 1 - 1/x/x - x*x - 2/x = 0
Умножим все на x^2:
2x^3 + x^2 - 1 - x^4 - 2x = 0
x^4 -2x^3 - x^2 + 2x + 1 = 0
Так как x=0 не является корнем уравнения,
поделим его на x^2:
x^2 + 1/x^2 - 1 + 2/x - 2x = 0
(1/x - x)*(1/x - x) + 1 + 2/x - 2x = 0
Введем вспомогательную переменную t = 1/x - x
t*t + 1 + 2*t = 0
t*t + 2*t + 1 = 0
D=4-4 = 0
t = -2/2 = -1
Таким образом:
1/x - x = -1
1-x*x = -x
x*x - x - 1 = 0
D = 1+4 = 5
x1,2 = (1+-sqrt(5))/2
Теперь выполним подстановку в исходное уравнение и увидим, что подходит только один корень:
x = (1-sqrt(5))/2
Ответ правильный, проверено в программе Graph.
Замечание:
Некоторые требуют выполнить проверку без калькулятора и программ :)
Заметим, что в этой задаче x = -(золотое сечение). Как известно, (золотое сечение) = 1 - 1/(золотое сечение).
Поэтому:
(x-1)/x = 2-x =>
sqrt(x+1) - sqrt((x-1)/x) = sqrt(x+1) - sqrt(2-x) = -1;
sqrt(x+1) + 1 = sqrt(2-x);
Возведем в квадрат:
x + 1 + 1 + 2*sqrt(x+1) = 2 - x;
2x + 2*sqrt(x+1) = 0;
x + sqrt(x+1) = 0;
x = -sqrt(x+1);
Заметим, что x отрицателен.
Возведем в квадрат
x*x = x + 1;
x*x - x - 1 = 0;
Решим его и найдем, что x = (1-sqrt(5))/2.
Следовательно, x=(1-sqrt(5))/2 - корень исходного уравнения.