Если точка пересечения диагоналей равноудалена от всех сторон параллелограмма, то в этот параллелограмм можно вписать окружность. Но окружность можно вписать только в тот четырёхугольник, в котором суммы противоположных сторон равны. А параллелограмм, у которого противоположные стороны параллельны и равны, и их суммы равны может иметь только равные стороны, но это уже ромб.