Дан прямоугольный треугольник АВС, в котором гипотенуза АВ=25, высота СD=12. Окружность радиуса AD пересекает сторону АС в точке Е. Найти АЕ.
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу.
CD²=AD•BD
Пусть АD=x. Тогда BD=25-x
12²=x•(25-x) ⇒144=25х-х³⇒
х²-25х+144=0
Решив квадратное уравнение, получим х₁=16, х₂=9, ⇒АВ=16+9=25.
Т.к. АЕ=АD, то, поскольку нет дополнительных данных, искомый радиус может быть как 16, так и 9.
Т.е. если АD=16, то АЕ=16, если АD=9, то АЕ=9.
------------
Дополнительно можно заметить, что ∆ АСD и ∆ BCD имеют отношение катетов 3:4, это "египетские треугольники, следовательно и ∆ АВС - египетский.
Можно без вычислений сказать, что один из катетов ∆ АВС=15, второй=20.