1)
Преобразуем:
3²ˣ - 54*(¹/₃)²⁽ˣ⁺¹⁾ -1=3²ˣ -54*(¹/₃)²ˣ⁺² -1=3²ˣ - 54*(¹/₃)²ˣ * (¹/₃)² - 1=
=3²ˣ - 54 * ¹/₉ * (¹/₃)²ˣ - 1 = 3²ˣ - 6 * (¹/₃)²ˣ - 1 = (3⁴ˣ - 6 - 3²ˣ) / 3²ˣ =
=(3⁴ˣ - 3²ˣ - 6) / 3²ˣ
2)
После преобразования получаем неравенство:
(3⁴ˣ - 3²ˣ - 6) / (3²ˣ(х+3)) ≤ 0
ОДЗ: х≠ -3
3)
Для решения применяем метод интервалов:
3²ˣ (3⁴ˣ - 3²ˣ - 6) (х+3) ≤ 0
Так как выражение "3²ˣ" всегда больше 0 (3²ˣ > 0), то его исключаем:
(3⁴ˣ - 3²ˣ - 6)(х+3) ≤ 0
4) Разложим на множители:
3⁴ˣ - 3²ˣ - 6=0
Замена переменной:
t=3²ˣ
t²=3⁴ˣ
t²-t-6=0
D=(-1)² -4*(-6)=1+24=25
t₁=(1-5)/2= -2
t₂=(1+5)/2=3
t² - t -6 =(t+2)(t-3)
3⁴ˣ - 3²ˣ - 6=(3²ˣ + 2)(3²ˣ - 3)
5) (3²ˣ + 2)(3²ˣ - 3)(х+3) ≤ 0
Так как 3²ˣ + 2 >0 при любых "х", то это выражение исключаем из решения:
(3²ˣ - 3)(х+3)≤0
3²ˣ -3=0 х+3=0
3²ˣ=3 х= -3
2х=1
х=0,5
6) Знаки интервалов:
+ - +
---------- -3 -------------- 0,5 -------------
\\\\\\\\\\\\\\\\\\
х< -3 x= -4 3⁻⁸ - 3 < 0 и (-4-3<0 ) ⇒ - - | +<br>-30) ⇒ - + | -
x>0.5 x=2 3² - 3 >0 и (2+3>0) ⇒ + + | +
x∈(-3; 0.5]
Ответ: (-3; 0.5].