За окном ранние осенние деньки, и жёлтая листва на деревьях навевает
лирическое и немного грустное настроение…. Но впереди ещё целый учебный
год и в такие моменты нужно обязательно настроиться на плодотворную
работу! Спешу обрадовать всех хандрящих читателей своим фирменным
рецептом, позволяющим быстро повысить тонус своего организма. Для этого
достаточно немножко вспомнить геометрию…
…нет, я согласен, что иногда она усыпляет, но в небольших дозах –
исключительно бодрит! И, главное, очень действенно – как только
начинаешь принимать живительные порции знаний, так сразу никакой
сезонной депрессии!
Ещё на первом уроке по теме мы познакомились с классическим определением вероятности появления некоторого события в испытании и простейшей формулой , где – общее число всех возможных равновозможных, элементарных исходов данного испытания, а – кол-во элементарных исходов, благоприятствующих событию .
Возникли затруднения с терминологией и/или пониманием? Пожалуйста, начните с основ теории вероятностей.
Едем дальше: классическое определение вероятности оказывается
эффективным для решения целого спектра задач, но с другой стороны,
обладает и рядом недостатков. Даже правильнее сказать, не недостатков, а
ограничений. Одним из таких ограничений является тот факт, что оно
неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. Простейший
пример:
На отрезок наудачу бросается голодная точка. Какова вероятность того, что она попадёт в промежуток ?
Поскольку на отрезке бесконечно много точек, то здесь нельзя применить формулу (ввиду бесконечно большого значения «эн») и поэтому на помощь приходит другой подход, называемый геометрическим определением вероятности.
Всё очень похоже: вероятность наступления некоторого события в испытании равна отношению , где – геометрическая мера, выражающая общее число всех возможных и равновозможных исходов данного испытания, а – мера, выражающая количество благоприятствующих событию исходов. На практике в качестве такой геометрической меры чаще всего выступает длина или площадь, реже – объём.
Рассмотрим событие: – брошенная на отрезок точка, попала в промежуток . Очевидно, что общее число исходов выражается длиной бОльшего отрезка: , а благоприятствующие событию исходы – длиной вложенного отрезка: По геометрическому определению вероятности:
Слишком просто? Как и в случае с классическим определением, это обманчивое впечатление. Обстоятельно и добросовестно разбираемся в практических примерах:
Задача 1
Метровую ленту случайным образом разрезают ножницами. Найти вероятность того, что длина обрезка составит не менее 80 см.
Решение: «чего тут сложного? Вероятность равна
1/5-й». Это автоматическая ошибка, которую допускают по небрежности. Да,
совершенно верно – длина обрезка составит не менее 80 см, если от ленты
отрезать не более 20 сантиметров. Но здесь часто забывают, что искомый
разрез можно сделать как с одного конца ленты, так и с другого:
Рассмотрим событие: – длина обрезка составит не менее 0,8 м.
Поскольку ленту можно разрезать где угодно, то общему числу исходов соответствует её длина: Благоприятствующие событию участки разреза отмечены на рисунке красным цветом и их суммарная длина равна: По геометрическому определению:
Ответ: 0,4