Помогите пожалуйста решить , никто не знает ответов,это высшая математика. 15 радиант...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

4.15. $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3+3x^2+5}{3x^2-4x+1}$
Делим числитель и знаменатель на высшую степень, то есть x^3
$\lim_{x \to \infty} \frac{2+3/x+5/x^3}{3/x-4/x^2+1/x^3}$
Во всех маленьких дробях предел a/x = a/(oo) = 0, поэтому
$\lim_{x \to \infty} \frac{2+0+0}{0+0+0}= \frac{2}{0} =oo$

5.15. $\lim_{x \to -1} \frac{ \sqrt{5+x} -2}{ \sqrt{8-x} -3}$
Умножаем числитель и знаменатель на сумму корней
$\lim_{x \to-1} \frac{( \sqrt{5+x} -2)( \sqrt{5+x} +2)( \sqrt{8-x} +3)}{( \sqrt{5+x} +2)(\sqrt{8-x} -3)( \sqrt{8-x} +3)} = \lim_{x \to-1} \frac{(5+x-4)( \sqrt{8-x} +3)}{( \sqrt{5+x} +2)(8-x-9)}=$
$= \lim_{x \to-1} -\frac{(x+1)( \sqrt{8-x} +3)}{( \sqrt{5+x} +2)(x+1)} = \lim_{x \to-1} -\frac{\sqrt{8-x} +3}{\sqrt{5+x} +2} = -\frac{ \sqrt{9} +3}{ \sqrt{4} +2} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$

6.15. Примеры на 1 Замечательный предел. k = 15
1) $\lim_{x \to0} \frac{sin(3x)}{15x+2x} = \lim_{x \to0} \frac{sin(3x)}{17x} = \lim_{x \to0} \frac{sin(3x)}{3x}* \frac{3}{17} =1*\frac{3}{17}=\frac{3}{17}$
2) $\lim_{x \to 0} \frac{15x^2}{sin^2(5x)} = \lim_{x \to 0} ( \frac{3}{5} *\frac{5x}{sin(5x)}*\frac{5x}{sin(5x)}) = \frac{3}{5}*1*1= \frac{3}{5}$
3) $\lim_{x \to 0} \frac{tg(15x+3x)*x}{5x^2} =\lim_{x \to 0} \frac{tg(18x)}{5x} =\lim_{x \to 0} \frac{tg(18x)}{18x}* \frac{18}{5} =\frac{18}{5}$
4) $\lim_{x \to \infty} (1+ \frac{15}{x} )^x=e^{15}$
Это пример на 2 Замечательный предел.
5) $\lim_{x \to0} \frac{sin(15x)-sin(5x)}{15x}= \lim_{x \to0} \frac{sin(15x)}{15x}- \lim_{x \to0} \frac{sin(5x)}{15x}=1- \frac{5}{15} = \frac{2}{3}$
6) $\lim_{x \to 0} \frac{cos(2x)-cos(15x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2sin(17x/2)*sin(13x/2)}{x*x}=$
$= 2*\frac{17}{2}* \frac{13}{2}= \frac{221}{2} =110,5$

7.15. Предел на 2 Замечательный предел.
$\lim_{x \to \infty}( \frac{x-7}{x+1} )^{4x-2}$
Нужно дробь привести к виду $(1+ \frac{n}{x+1} )^{x+1}$
$\lim_{x \to \infty}( \frac{x+1-8}{x+1} )^{4(x+1)-6}= \lim_{x \to \infty}[(1- \frac{8}{x+1} )^{x+1}]^4:(1- \frac{8}{x+1} )^6$
По 2 Замечательному пределу $\lim_{t \to \infty}(1+ \frac{n}{t} )^t = e^n$
Получаем
$(e^{-8})^4:(1- \frac{8}{oo} )^6=e^{-32}:(1^6)=e^{-32}$

8.15. $\lim_{x \to -\infty}( \frac{x-2}{3x+1} )^{5x}=\lim_{x \to -\infty}( \frac{1}{3}*\frac{3x-6}{3x+1} )^{5x}$
Но должен быть предел x->+oo, а не x->-oo, поэтому меняем x на -x
$= \lim_{x \to \infty}( \frac{1}{3} )^{-5x}*\lim_{x \to \infty}( \frac{-3x-6}{-3x+1} )^{-5x}=( \frac{1}{3} )^{-oo}*\lim_{x \to \infty}( \frac{3x+6}{3x-1} )^{-5x}=$
$=3^{+oo}*\lim_{x \to \infty}(1+ \frac{7}{3x-1} )^{(3x-1)*(-5/3)-5/3}=3^{+oo}*e^{-7*5/3}=+oo$

mefody66_zn (320k баллов) 14 Май, 18