Часть речи слова пустую — глагол.
Морфологические признаки
Начальная форма: пустовать (инфинитив);
Постоянные признаки: 1-е спряжение, непереходный, несовершенный вид;
Непостоянные признаки: изъявительное наклонение, единственное число, настоящее время, 1-е лицо.
Синтаксическая роль
Может быть различным членом предложения, смотрите по контексту.