Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров.Если серединный перпендикуляр основания совпадает с высотой, то высота делит основание пополам, а значит совпадает с медианой. А это уже признак равнобедренного треугольника.
Может-ли высота пройти через центр окружности и не совпадать с серединным перпендикуляром? Нет. Иначе получатся 2 перпендикуляра, опущенных их центра на основание. Чего быть не может.