Обозначим второй катет "х", гипотенузу "у".
По свойству биссектрисы составим пропорцию:
х/6 = у/10.
Отсюда получаем первое уравнение:
10х = 6у или 5х = 3у.
Второе уравнение по Пифагору:
х² + (6+10)² = у².
Делаем подстановку из первого уравнения: у = (5/3)х.
х² + 256 = (25/9)х²,
9х² + 256*9 = 25х²,
16х² = 16²*9
х² = 16*9
х = 4*3 = 12.
Для треугольника АСМ отрезок АМ - это гипотенуза.
АМ² = х² + 6² = 144 + 36 = 180,
АМ = √180 = 6√5.
Искомый радиус равен половине гипотенузы АМ и равен 3√5.