Надо - как и слово "нужно". ни к какой части речи не относится. Это слово, которое используется как безличное сказуемое в предложении, а частью речи не является.
Надо - это предикатив. Предикативы - это состояния, безлично-пердикативные слова,предикативные наречия - особая группа слов, стоящих вне традиционной системы части речи и обозначающих нединамическое состояние, выступающих в функции главного члена односоставного предложения.