Докажите ,что (x^n-a^n)⋮(x^k-a^k), если n⋮k, n∈N , k∈N

Question

Докажите ,что (x^n-a^n)⋮(x^k-a^k), если n⋮k, n∈N , k∈N

Answer 1

Кстати, верен и обратный результат.
Воспользуемся формулой
x^m-y^m=(x-y)(x^(m-1)+x^(m-2)y+ x^(m-3)y^2+...+y^(m-1))

По условию n=kt. Поэтому
x^n-a^n=x^(kt)-a^(kt)=(x^k)^t-(a^k)^t= (x^k-a^k)((x^k)^(t-1)+... (a^k)^(t-1))
Отсюда и следует требуемый результат 

Comments

спасибо