Сколько решений уравнения 10sinx+3cos(x+pi/6)=корень из 79 принадлежит промежутку [5pi;...

Question 1

Сколько решений уравнения
10sinx+3cos(x+pi/6)=корень из 79 принадлежит промежутку [5pi; 2017pi) ?

Question 2

Упростим левую часть уравнения:
$10\sin x + 3\cos(x + \frac\pi6) = 10\sin x + 3\cos x\cos \frac\pi6 - 3\sin x\sin\frac\pi6 =\\=10\sin x+\frac{3\sqrt3}2\cos x-\frac32\sin x=\frac{17}2\sin x+\frac{3\sqrt3}2\cos x$
$\sqrt{(\frac{17}2)^2+(\frac{3\sqrt3}2)^2}=\frac{\sqrt{289+27}}2=\sqrt{79}$

Пусть угол $\varphi$ - такой, что $\sin \varphi=\frac{3\sqrt3}{2\sqrt{79}}$ , $\cos\varphi=\frac{17}{2\sqrt{79}}$ , тогда
$\frac{17}2\sin x+\frac{3\sqrt3}2\cos x=\sqrt{79}(\sin x\cos\varphi+\cos x\sin\varphi)=\sqrt{79}\sin(x+\varphi)$

Окончательно уравнение превращается в такое:
$\sqrt{79}\sin(x+\varphi)=\sqrt{79}\\ \sin(x+\varphi)=1$

У этого уравнения на любом полуоткрытом промежутке длины $2\pi$ есть ровно 1 корень.

Так как $2017\pi-5\pi=2012\pi=1006\cdot2\pi$ , то у уравнения 1006 корней на заданном промежутке.

nelle987_zn · Answer 1 · 2018-05-14T06:45:52+0000

Упростим левую часть уравнения:
$10\sin x + 3\cos(x + \frac\pi6) = 10\sin x + 3\cos x\cos \frac\pi6 - 3\sin x\sin\frac\pi6 =\\=10\sin x+\frac{3\sqrt3}2\cos x-\frac32\sin x=\frac{17}2\sin x+\frac{3\sqrt3}2\cos x$
$\sqrt{(\frac{17}2)^2+(\frac{3\sqrt3}2)^2}=\frac{\sqrt{289+27}}2=\sqrt{79}$

Пусть угол $\varphi$ - такой, что $\sin \varphi=\frac{3\sqrt3}{2\sqrt{79}}$ , $\cos\varphi=\frac{17}{2\sqrt{79}}$ , тогда
$\frac{17}2\sin x+\frac{3\sqrt3}2\cos x=\sqrt{79}(\sin x\cos\varphi+\cos x\sin\varphi)=\sqrt{79}\sin(x+\varphi)$

Окончательно уравнение превращается в такое:
$\sqrt{79}\sin(x+\varphi)=\sqrt{79}\\ \sin(x+\varphi)=1$

У этого уравнения на любом полуоткрытом промежутке длины $2\pi$ есть ровно 1 корень.

Так как $2017\pi-5\pi=2012\pi=1006\cdot2\pi$ , то у уравнения 1006 корней на заданном промежутке.