-1 - это число, противоположное числу 1, то оно таково, что -1 + 1 = 0. Его существование следует из соответствующей аксиомы. Из другой несложной теоремы следует, что -1 и 1 взаимно противоположны, то есть противоположное к -1 это 1.
Теперь посчитаем:
(-1) +(-1)*(-1) = (-1)*1+(-1)*(-1)=(-1)(1+(-1))=-1*0=0 (каждая операция выполняется по аксиомам)
В результате получаем, что (-1) +(-1)*(-1)=0, то есть (-1) и (-1)*(-1)-противоположные. Но мы знаем, что к -1 противоположна 1, и знаем, что противоположное число всегда единственно, значит (-1)*(-1)=1