15 задание. Помогите разобраться со степенью в основании логарифма

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

ОДЗ: $9^{x-6}\ \textgreater \ 0 -$ всегда;

$9^{x-6}\not= 1\Rightarrow x-6\not= 0\Rightarrow x\not=6;$

$x+2\ \textgreater \ 0\Rightarrow x\ \textgreater \ -2;$

$x^2\ \textgreater \ 0\Rightarrow x\not= 0;$

$\log_{9^{x-6}} (x^2)\not= 0\Rightarrow x^2\not=1\Rightarrow x\not= \pm 1$

Отсюда

$x\in (-2;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(1;6)\cup(6;+\infty).$

Применим формулу перехода к новому основанию:

$\log_{x^2}(x+2)<1$ ;

$\log_{x^2}(x+2)\ \textless \ \log_{x^2}(x^2),$

что равносильно на ОДЗ неравенству

$(x^2-1)(x+2-x^2)\ \textless \ 0;\ (x-1)(x+1)(x^2-x-2)\ \textgreater \ 0;\$

(x-1)(x+1)(x+1)(x-2)>0; $(x+1)^2(x-1)(x-2)\ \textgreater \ 0.$

Метод интервалов дает

$x\in (-\infty; -1)\cup (-1;1)\cup (2;+\infty).$

Остается пересечь с ОДЗ.

Ответ: $(-2;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(2;6)\cup(6;+\infty)$

По поводу степени в основании. Верна формула

$\log_{a^n}b=\frac{1}{n}\log_a b.$ Правда, с ней нужно быть аккуратным. Но если известно, что a>0, ей спокойно можно пользоваться. Строгое обоснование проводить лень, объясню на пальцах. Логарифм числа b по основанию - это в какую степень надо возвести a, чтобы получить b (точнее - показатель степени). Но если a возведено уже в степень n, то для получения b степень понадобится в n раз меньше.

yugolovin_zn (64.0k баллов) 14 Май, 18