Помогите решить задачу Коши y'+y-xy^3=0,y(0)=-1

это вид Бернулли n=3.

Пусть $t= \frac{1}{y^2}$ , тогда имеем
$t'-2t=-2x$

Пусть $t=uv;\,\,\, t'=u'v+v'u$ , имеем

$u'v+uv'-2uv=-2x\\ u'v+u(v'-2v)=-2x$

Решение Бернулли разбивается на 2 случая:

1) Предположим что второе слагаемое равен нулю

$v'-2v=0\\ \\ \frac{dv}{v} =2dx$
Интегрируя
$v=e^{2x}$

2) $u'e^{2x}=-2x\\ \\ u= \int\limits {-2xe^{-2x}} \, dx =xe^{-2x}+ \frac{e^{-2x}}{2} +C$

Обратная замена

$t=uv=e^{2x}*(xe^{-2x}+ \frac{e^{-2x}}{2} +C)=Ce^{2x}+x+0.5$

$\frac{1}{y^2}=Ce^{2x}+x+0.5\\ \\ y=\pm \dfrac{1}{ \sqrt{Ce^{2x}+x+0.5} }$
Нашли общее решение

Теперь решим Задачу Коши: y(0)=-1

$-1=-\dfrac{1}{ \sqrt{Ce^{2\cdot0}+0+0.5} } \\ \\ 1= \dfrac{1}{\sqrt{C+0.5}} \\ \\ C=0.5$

$y=- \dfrac{1}{ \sqrt{0.5e^{2x}+x+0.5} }$ - частное решение