Заметим такой факт: число на доске изначатьно делится на 9. На очереднош шаге из числа вычитается сумма его цифр, но по свойству делимости на 9 эта сумма тоже делилась на девять, а разность двух делящихся на 9 чисел тоже делится на девять. Значит, наждый раз Артём записывает на доску число, делящееся на девять, а значит, на доске осталась цифра, делящаяся на девять - это 0 или 9. Но 0 не мог остаться, так как на предыдущем ходу из числа на доске вычли сумму его цифр, равную ему самому, значит этим числом была одна цифра, что невозможно. Значит, оставшееся число - это 9.