Дана последовательность чисел 1, 2, 3,...2n. Сколькими способами можно извлечь из неё три...

Question

Дана последовательность чисел 1, 2, 3,...2n. Сколькими способами можно извлечь из неё три числа, из которых можно построить арифметическую прогрессию?

Answer 1

Второе число в арфиметической прогрессии из трех элементов однозначно определяется первым и третьим как их полусумма. Поэтому достаточно выбрать любые два числа из этого ряда (они будут первым и третьим элементами) так, чтобы их полусумма была целым числом. Это возможно когда оба числа нечетные или оба четные. Т.к. в ряду 1,...,2n количество четных равно количеству нечетных, т.е. n, то два четных числа можно выбрать  способами и столькими же способами можно выбрать два нечетных числа. Итак, общее количество способов равно .