Нужно нарисовать рисунок
пусть A1A2A3...An правильный n-угольник
O - центр вписанной окружности
B - точка касания стороны A1A2 и вписанной окружности, это будет середина A1A2
угол A1OA2 = A2OA3 = ...= AnOA1
сумма этих углов равна полному углу в 360°
поэтому каждый из этих углов равен 360°/n
угол A1OB в два раза меньше чем A1OA2 поэтому
A1OB = 180°/n
из треугольника A1OB
tg(A1OB)=A1B/OB
тогда OB=A1B/tg(A1OB)
A1B=A1A2/2 = a/2, где a - сторона
OB это и есть радиус вписанной окружности
r=OB=(a/2) / tg (180°/n) = a/2 * ctg(180°/n)