Пусть в треугольнике ABC проведена биссектриса AK угла A.Докажите что AB:AC=KB:KC.Какие...

Question

Пусть в треугольнике ABC проведена биссектриса AK угла A.Докажите что AB:AC=KB:KC.Какие следствия можно получить из этого равенства?Верно ли обратное утверждение?Можно ли получить доказательство без использования теоремы синусов?

Answer 1

Пусть угол АКВ=х, тогда уголАКС=180-х 
Рассмотрим треугольник АВК по теореме синусов ВК:sin(А/2)=АВ:sinх 
Отсюда sin(А/2)=(ВК*sinх)/АВ 
Рассмотрим треугольник АКС по теореме син КС:sin(А/2)=АС:sin(180-х) 
Отсуда sin(А/2)=(КС*sin(180-х))/АС 
Левые части равны, равны и правые (ВК*sinх)/АВ= (КС*sin(180-х))/АС 
sin(180-х)=sinх Значит ВК:АВ= КС:АС Осюда АВ:АС=ВК:КС 
Следствия: АС:АВ=КС:КВ АВ*КС=АС*КВ