Доказать тождество: 8ctg40aльфа+4tg20aльфа+2tg10aльфа+tg5aльфа=ctg5альфа

Question 1

Question 2

Доказать тождество:

$8ctg40a+4tg20a+2tg10+tg5a=ctg5a\quad \Rightarrow \\\\8ctg40a+4tg20a+2tg10a=ctg5a-tg5a\\\\\star \; \; ctg5a-tg5a= \frac{cos5a}{sin5a} - \frac{sin5a}{cos5a} = \frac{cos^25a-sin^25a}{sin5a\cdot cos5a} = \frac{cos10a}{\frac{1}{2}sin10a} =2ctg10a\; \star \\\\8ctg40a+4tg20a+2tg10a=2ctg10a\; \; \; \Rightarrow \\\\8ctg40a+4tg20a=2(ctg10a-tg10a)\\\\\star \; \; ctg10a-tg10a= \frac{cos10a}{sin10a} - \frac{sin10a}{cos10a} = \frac{cos20a}{\frac{1}{2}sin20a} =2ctg40a\; \; \star$

$8ctg40a+4tg20a=2\cdot 2ctg20a$

$8ctg40a+4tg20a=4ctg20a\; \; \Rightarrow \\\\8ctg40a=4\cdot (ctg20a-tg20a)\\\\\star \; \; ctg20a-tg20a= \frac{cos20a}{sin20a} - \frac{sin20a}{cos20a} = \frac{cos40a}{\frac{1}{2}sin40a} =2ctg40a\; \; \star \\\\8ctg40a=4\cdot 2ctg40a\\\\8ctg40a=8ctg40a$

Что и требовалось доказать.

2 способ.

$8ctg40a+4tg20a+2tg10a+tg5a=ctg5a\; \; \Rightarrow \\\\8ctg40a+4tg20a+2tg10a+\underbrace {tg5a-ctg5a}_{-2ctg10a}=0\\\\\\\star \; \; tg \beta -ctg \beta = \frac{sin \beta }{cos \beta } - \frac{cos \beta }{sin \beta } = \frac{sin^2 \beta -cos^2 \beta }{sin \beta \cdot cos\beta } = \frac{-cos2 \beta }{\frac{1}{2}sin2 \beta }=-2ctg2\beta \; \star\\\\8ctg40a+4tg20a+2tg10a-2ctg10a=0\\\\8ctg40a+4tg20a+2\cdot (\underbrace {tg10a-ctg10a}_{-2ctg20a})=0\\\\8ctg40a+4tg20a-4\cdot ctg20a=0$

$8ctg40a+4\cdot (\underbrace{tg20a-ctg20a}_{-2ctg40a})=0$

$8ctg40a-8ctg40a=0\\\\0=0$