Область допустимых решений уравнения:
sinx+cosx\ \textgreater \ 0;
Возведем в квадрат обе части уравнения. При возведении в квадрат могут получиться побочные решения, так как область допустимых решений после возведения в квадрат обеих частей уравнения расширяется (sinx+cosx<0).<br> sin^{2}x+2sinxcosx+ cos^{2}x=2;
sin^{2}x+ cos^{2} x=1; 2sinxcosx=sin2x;
Тогда
sin2x=1; 2x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n, n∈Z;
Решение в общем виде:
x= \frac{ \pi }{4}+ \pi n, n∈Z;
На промежутке [- \pi ; 2 \pi ]:
x_{1}=- \frac{3}{4} \pi , x_{2}= \frac{ \pi }{4}, x_{3}= \frac{5}{4} \pi .
Однако при
x_{1}= -\frac{3}{4} \pi, x_{3}= \frac{5}{4} \pi , sinx+cosx\ \textless \ 0;
Это решения уравнения, возведенного в квадрат, которые для исходного уравнения не подходят, т.к. область допустимых решений исходного уравнения sinx+cosx>0;
Поэтому решение единственное
x= \frac{ \pi }{4}.