Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разбивает данный...

Question

119 просмотров

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разбивает данный треугольник на два треугольника, в которые вписаны окружности радиусов 2 и 4. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

Геометрия masha993_zn (1.4k баллов) 14 Май, 18 | 119 просмотров

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле: $r= \frac{a+b-c}{2} = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} - \frac{c}{2} .$
У треугольника, радиус которого в 2 раза больше, стороны тоже в 2 раза больше, что следует из вышеприведенной формулы:
$2r=2 \frac{a+b-c}{2} =a+b-c=2 \frac{a}{2} +2 \frac{b}{2}-2 \frac{c}{2}.$
Подобие треугольников, на которые высота из прямого угла делит прямоугольный треугольник, вытекает из равенства взаимно перпендикулярных углов этих треугольников.
Примем стороны треугольников, лежащих против прямых углов, равными х и 2х. Тогда гипотенуза заданного треугольника будет равна:
$\sqrt{x^2+4x^2} =x \sqrt{5} .$
Так как радиусы пропорциональны сторонам, то радиус заданного треугольника в $\sqrt{5}$ раз больше радиуса, равного 2.
Ответ: радиус окружности, вписанной в данный треугольник, равен $2 \sqrt{5}$ ≈ 4,472136.

dnepr1_zn (309k баллов) 14 Май, 18