{ x²-3xy +y² = -1 ; 3x²- xy +3y² = 13 . ⇔ { (x+y)²-5xy = -1 ; 3(x+y)²-7xy =13 . ⇔
||Из второго уравнения вычитаем 3 - кратное первого уравнения || ⇔
{8xy = 16 ; (x+y)²-5xy = -1. ⇔ {xy =2 ; (x+y)² =3² . ⇔
{xy =2 ; x+y = ± 3.⇒
a)
{xy =2 ; x+y = - 3 .
x и y корни уравнения t² +3t +2 =0 . ⇒ t₁ = -1 ; t₂= -2 .
⇒x₁ =t₁ = -1; y₁ =t₂ =-2 или x₂ =t₂ = -2 ; y₂ =t₁ = -2.
(-1 ; -2) ; (-2 ; -1) .
---
b)
{xy =2 ; x+y = 3 .
аналогично получается (1 ; 2) ; (2 ; 1) .
ответ: (-1 ; -2), (-2 ; -1) , (1 ; 2) , (2 ; 1) .
================================
Или другим способом :
{ x²-3xy +y² = -1 ; 3x²- xy +3y² = 13 . ⇔
|| Второму урав. сложим 13 *(1-ное уравнение) ||⇒
16x²+16y²- 40xy =0 ;
2y² -5xy+2x² =0 . разделим на x² =0 * * * x =0 не является решением системы * * *
2(y/x)² -5*(y/x) +2 =0 ; замена t =y / x
2 t² -5t +2 =0 ;
t² -(2 +1/2) t +1 =0 ⇒ t₁ = 2 ; t₂ =1/2 .
a)
y/x = 2 ⇔ y = 2x поставим в первое уравнение (можно и во второе)
x²-3xy +y² = -1 ⇒ x²-3x*2x + (2x)² = -1 ⇔ x² = 1 ⇔ x = ± 1 ⇒
(-1 ; -2) и (1 ;2 ) .
--------
b)
y/x =1/2 ⇔ x = 2y (не удивительно симметричные уравнение)
(-2 ; -1) и (2 ;1)