Исследовать сходимость ряда: ∑(n=1)

$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \frac{5^n-4n}{n!} =\sum^{\infty}_{n=1} \frac{5^n}{n!} -\sum^{\infty}_{n=1} \frac{4n}{n!}$

$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \frac{5^n}{n!}$
По признаку Даламбера:
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{ \dfrac{5^{n+1}}{(n+1)!} }{ \dfrac{5^n}{n!} } = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n+1} =0\ \textless \ 1$

$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \frac{4n}{n!}$
По признаку Даламбера:
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{ \dfrac{4\cdot(n+1)}{(n+1)!} }{ \dfrac{4n}{n!} } = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} =0\ \textless \ 1$

Итак, данный ряд сходится