График функции y = x² - 2x - 3 это парабола ветвями вверх.
а) значение функции, соответствующее значению аргумента равному -1.5;
Подставим х = -1,5 в уравнение:
y=(-1,5)²-2*(-1,5)-3 = 2,25.
б) значение аргумента, при котором y= -2;
Составляем уравнение: -2 = x² - 2x - 3.
y = x² - 2x - 1 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-2)²-4*1*(-1)=4-4*(-1)=4-(-4)=4+4=8;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√8-(-2))/(2*1)=(√8+2)/2=√8/2+2/2=√8/2+1 ≈ 2,4142136;
x_2=(-√8-(-2))/(2*1)=(-√8+2)/2=-√8/2+2/2=-√8/2+1 ≈ -0,4142136.
в)нули функции.
Для этого приравниваем функцию нулю:
x² - 2x - 3 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-2)^2-4*1*(-3)=4-4*(-3)=4-(-4*3)=4-(-12)=4+12=16;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√16-(-2))/(2*1)=(4-(-2))/2=(4+2)/2=6/2=3;
x_2=(-√16-(-2))/(2*1)=(-4-(-2))/2=(-4+2)/2=-2/2=-1.
г) промежутки знакопостоянства функции;
y > 0 ⇒ x ∈ (-∞;-1) ∪ (3;+∞),
y< 0 ⇒ x ∈ (-1;3).
д) промежутки возрастания и убывания функции;
Находим вершину параболы: Хо = -в/2а = 2/(2*1) = 1.
Функция убывает при x ∈ (-∞;1) и возрастает при х ∈ (1;+∞).
е) область значений функции.
Находим минимальное значение функции в её вершине:
Уо = 1² - 2*1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4.
Отсюда ответ: y ∈ R, y ≥ -4.