Помогите решить,пожалуйста

Question

Дан 1 ответ

Minsk00_zn · Answer 1 · 2018-05-14T09:52:15+0000

Решите систему
$\left \{ {{2log^2_4a-log_4a*log_4b-6log^2_4b=0} \atop {log_2a+log_{0,5}b=2}} \right.$
Запишите произведение рациональных чисел а и b удолетворяющи данной системе

Решение
Представим левую часть первого уравнения в системе уравнений в виде произведения
$2log^2_4a-log_4a*log_4b-6log^2_4b=(2log_4a+3log_4b)(log_4a-2log_4b)=$ $=(log_4a^2+log_4b^3)(log_4a-log_4b^2)=log_4(a^2b^3)*log_4 (\frac{a}{b^2})$
Преобразуем левую часть второго уравнения
$log_2a+log_{0,5}b=log_2a-log_{2}b=log_2 \frac{a}{b}$

Запишем полученную систему уравнений

$\left \{ log_4(a^2b^3)*log_4 (\frac{a}{b^2})=0} \atop {log_2 \frac{a}{b} =2}} \right.$

Данная система распадается на две системы уравнений

$\left \{ log_4(a^2b^3)=0} \atop {log_2 \frac{a}{b} =2}} \right.$

и

$\left \{ log_4 (\frac{a}{b^2})=0} \atop {log_2 \frac{a}{b} =2}} \right.$

Решаем каждую систему уравнений отдельно

$\left \{ log_4(a^2b^3)=0} \atop {log_2 \frac{a}{b} =2}} \right.\ \textless \ =\ \textgreater \ \left \{ a^2b^3=1} \atop {\frac{a}{b} =4}}\right.$
Из второго уравнения выразим переменную а и подставим в первое уравнение
a= 4b
a²b³=1
16b²b³=1
$16b^5=1$
$b= \frac{1}{ \sqrt[5]{16} }$
$a=4b= \frac{4}{ \sqrt[5]{16} }$

$\left \{ log_4 (\frac{a}{b^2})=0} \atop {log_2 \frac{a}{b} =2}} \right.\ \textless \ =\ \textgreater \ \left \{ \frac{a}{b^2}=1} \atop {\frac{a}{b} =4}} \right.$
Из второго уравнения выразим переменную а и подставим в первое уравнение
a= 4b
$\frac{4b}{b^2}=1$
b=4
a=4b=4*4=16

Получили пару рациональных чисел а=16, b=4
Находим произведение
ab = 4*16 = 64

Ответ: ab = 64