Naydite naimenshee znachenie virajeniya (x^2 - 6x + 13)^2-7

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

$(x^2-6x+13)^2-7$

так как $x^2-6x+13=x^2-6x+9+4=(x^2-6x+9)+4=(x-3)^2+4$
наименьшее значение при х=3 оно равно 4
или иначе $ax^2+bx+c$
$a=1;b=-6;c=13$
a=1>0, значит ветви параболы направлены верх
так как $D=b^2-4ac=(-6)^2-4*1*13=-16<0$
то пересечений с осью абсцисс нет, парабола лежит выше оси Ох, иначе все ее значения положительны
(нам это важно так как будем еще возносить в квадрат, если бы были еще отрицательные - то смотрели бы на 0 )

минимум будет в вершине параболы
$x=-\frac{b}{2a}; y=c-\frac{b^2}{4a}$
$x=-\frac{-6}{2*1}=-3; y=13-\frac{(-6)^2}{4*1}=4$
минимальное значение y=4 при х=3

с учетом того что

0" alt="x^2-6x+13>0" align="absmiddle" class="latex-formula"> значит и квадрат выражения $(x^2-6x+13)^2$ будет принимать минимальное значение когда минимальное у $x^2-6x+13$ и оно будет $4^2=16$ при х=3

$(x^2-6x+13)^2-7$ тоже примет минимальное значение при х=3 и оно будет равно $16-7=9$
ответ: наименьшее значение 9 при х=3

второе решение более общее
там осталось только посчитать
$(3^2-6*3+13)^2-7=9$ - наименьшее значение

dtnth_zn (407k баллов) 14 Май, 18

vamu1_zn · Answer 1 · 2018-05-14T10:12:18+0000

Y = (x^2-6*x+13)^2-7
Необходимое условие экстремума функции одной переменной.
Уравнение f'0(x*) = 0 - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки xс, в которых функция не возрастает и не убывает.
Достаточное условие экстремума функции одной переменной.
Пусть f0(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:
f'0(x*) = 0
f''0(x*) > 0
то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.
Если в точке x* выполняется условие:
f'0(x*) = 0
f''0(x*) < 0
то точка x* - локальный (глобальный) максимум.
Решение.
Находим первую производную функции:
y' = (4x-12)*(x2-6x+13)
или
y' = 4(x-3)*(x2-6x+13)
Приравниваем ее к нулю:
4(x-3)*(x2-6x+13) = 0
x1 = 3
Вычисляем значения функции
f(3) = 9
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = 4x2-24x+(2x-6)*(4x-12)+52
или
y'' = 12x2-72x+124
Вычисляем:
y''(3) = 16>0 - значит точка x = 3 точка минимума функции.