Функции нескольких переменных

Производная по направлению находится по формуле
$\frac{du}{dl}= \frac{du}{dx} cos \alpha +\frac{du}{dy} cos \beta + \frac{du}{dz} cos \gamma$ .
Найдем направляющие косинусы:
$cos \alpha = \frac{1}{ \sqrt{1^2+2^2+(-2)^2} } = \frac{1}{3} \\ cos \beta = \frac{2}{ \sqrt{1^2+2^2+(-2)^2} } = \frac{2}{3} \\ cos \gamma = \frac{-2}{ \sqrt{1^2+2^2+(-2)^2} } =- \frac{2}{3}$
Вычислим значение частных производных в точке M(1,1,1)
$\frac{du}{dx}|_M=- \frac{4x}{x^2-5} -4yz|_M- \frac{4}{1^2-5} -4*1*1=-3 \\ \frac{du}{dy}|_M=-4xz|_M=-4*1*1=-4 \\ \frac{du}{dz}|_M=-4xy|_M=-4*1*1=-4$
Следовательно,
$\frac{du}{dl} =-3* \frac{1}{3} +(-4)* \frac{2}{3} +(-4)*(- \frac{2}{3})=-1- \frac{8}{3} +\frac{8}{3}=-1$
Градиент функции равен
$grad \, u= \frac{du}{dx} i + \frac{du}{dy} j+ \frac{du}{dz} k=-3i-4j-4k$