Вычислить площадь криволинейной трапеции у = х^2 + х + 1 ; у = 5 - 2х

Определяем координаты крайних точек фигуры.
х^2 + х + 1 = 5 - 2х,
х^2 + 3х - 4 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=3^2-4*1*(-4)=9-4*(-4)=9-(-4*4)=9-(-16)=9+16=25;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√25-3)/(2*1)=(5-3)/2=2/2=1;x₂=(-√25-3)/(2*1)=(-5-3)/2=-8/2=-4.

Так как прямая у = 5 - 2х на этом отрезке проходит выше параболы
у = х^2 + х + 1, то площадь фигуры равна интегралу:
$S= \int\limits^1_{-4} {(5-2x-x^2-x-1)} \, dx = \int\limits^1_{-4} {(-x^2-3x+4)} \, dx =125/6$ ≈ 20,8333.