Посмотрите такой вариант, если верный, то обратную замену на Х и, собственно, вычисление, выполните сами :-)
Перед заменой переменной интеграл можно было переписать немного по-другому, а именно:
![\int\limits^1_0 { \frac{1}{ \sqrt{1- e^{-2x} } } } \, dx = \int\limits^1_0 { \frac{1}{ \sqrt{1- \frac{1}{ e^{2x} } } } } \, dx = \int\limits^1_0 { \frac{ e^{x} }{ \sqrt{ e^{2x} -1} } } \, dx = \left[\begin{array}{ccc} e^{x} =t; \\dx= \frac{dt}{ e^{x} } = \frac{dt}{t} \\\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cint%5Climits%5E1_0+%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%7B1-+e%5E%7B-2x%7D+%7D+%7D+%7D+%5C%2C+dx+%3D+%5Cint%5Climits%5E1_0+%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%7B1-+%5Cfrac%7B1%7D%7B+e%5E%7B2x%7D+%7D+%7D+%7D+%7D+%5C%2C+dx+%3D+%5Cint%5Climits%5E1_0+%7B+%5Cfrac%7B+e%5E%7Bx%7D+%7D%7B+%5Csqrt%7B+e%5E%7B2x%7D+-1%7D+%7D+%7D+%5C%2C+dx+%3D++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D+e%5E%7Bx%7D+%3Dt%3B+%5C%5Cdx%3D+%5Cfrac%7Bdt%7D%7B+e%5E%7Bx%7D+%7D+%3D+%5Cfrac%7Bdt%7D%7Bt%7D+%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+ "\int\limits^1_0 { \frac{1}{ \sqrt{1- e^{-2x} } } } \, dx = \int\limits^1_0 { \frac{1}{ \sqrt{1- \frac{1}{ e^{2x} } } } } \, dx = \int\limits^1_0 { \frac{ e^{x} }{ \sqrt{ e^{2x} -1} } } \, dx = \left[\begin{array}{ccc} e^{x} =t; \\dx= \frac{dt}{ e^{x} } = \frac{dt}{t} \\\end{array}\right]")
После замены еˣ=t; eˣdx=dt -> dx=dt/eˣ=dt/t получим интеграл:
